Ekonometrik Testler ana sayfa

3.1. OTOKORELASYON TESTLERİ
      3.1.1. Durbin Watson – d Testi
      3.1.2. Ki–kare Testi
      3.1.3. Durbin – H Testi
      3.1.4. Durbin – Alternatif Testi
      3.1.5. Von – Neumann Oran Testi
      3.1.6. Breusch – Godfrey (LM) Testi
      3.1.7. Wallis ve King Testleri
3.2. OTOKORELASYONUN DÜZELTİLMESİ
      3.2.1. Genelleştirilmiş Farklar (GEKK)
      3.2.2. Doğrudan Tahmin Yöntemi (Durbin Watson ve Theil Nagar)
      3.2.3. İlk Farklar Yöntemi
      3.2.4. Berenblut Webb Testi
      3.2.5. Cochrane Orcutt Testi
      3.2.6. Durbin İki Aşamalı Testi

Otokorelasyon hata terimlerinin ardışık değerleri arasında ilişki olması durumudur. Zaman serilerinde genellikle pozitif otokorelasyona rastlanır. Çünkü ani düşüş ve yükselişler pek gerçekleşmez.

Otokorelasyon sistematik kısmın tanımıyla veya verilerle ilgili hatalardan dolayı oluşabilir. Sistematik kısmın tanımlanması ile ilgili hatalar, modelin fonksiyonel şeklinin yanlış seçilmesi, dışlanmış bağımsız değişkenlerin olması ve yapısal kırılmanın dikkate alınmaması olabilir.

Verilerden kaynaklanan hatalar ise modelde gecikmeli bağımlı değişkenin olması (otoregresif model), verilerde örümcek ağı görünümü (alınmış kararın etkisinin sonraki yıllarda görülmesi), veri işleme hatası (reel hale getirme, indeksleme hatası) ve zaman serisi verisinin karakter özellikleridir. Eğer hata sistematik kısmın tanımlanmasından kaynaklanıyorsa otokorelasyonu düzeltemeyiz. Uygun koşullar sağlandığında yalnızca verilerle ilgili hataları düzeltebiliriz.

Otokorelasyon durumunda parametrelerin EKK tahmincileri sapmasız ve tutarlı olup, etkin değildir. Hata teriminin varyansının tahmincisi sapmalıdır ve bu yüzden parametrelerin varyansları da sapmalı olur. Pozitif otokorelasyon varsa sapma negatif olur. Yani varyanslar olduğundan küçük bulunur. Bunun sonucunda t test istatistiği değeri büyük çıkar. Böylece anlamsız bir katsayının anlamlı olma olasılığı artar. R2 de yükselir. Dolayısıyla F değeri olduğundan büyük bulunur. Sonuç olarak t ve F testleri güvenilirliğini yitirip yanıltıcı sonuç verirler.

E ( Ui, Uj ) ≠ 0 (i ≠ j)   ise  Otokorelasyon var.
E ( Ui, Uj ) = 0   ise  Otokorelasyon yok.

Aşağıda karşımıza sıkça çıkacak Otoregresif Süreç tanımını öncelikle açıklamakta yarar var. Ororegresif süreçlerde bağımlı değişken, kendi gecikmeleri ile açıklanmaktadır. Modelin genel tanımı Yi = f ( Yi-1 ... ) şeklindedir.

Otokorelasyon, hata teriminin ardışık değerleri arasındaki ilişki; Otoregresyon, bağımlı değişkenin ardışık değerleri arasındaki ilişkidir.
 

Otokorelasyon varlığının araştırılmasında 1. dereceden Durbin Watson-d, Von-Neuman, Berenblut-web, Durbin-h, Durbin Alternatif, LM, Wallis, King testleri ve yüksek mertebeden Durbin Alternatif, LM testleri olmak üzere birçok test mevcuttur.

Testlerde kullanacağımız model yapısal kırılmanın zaten olmadığı, tam logaritmik modelimizdir. Regresyon çözümünü tekrar hatırlayalım.

LOG_VADELI = 6.823340206 + 0.5788967718*LOG_GSMH + 0.5766942575*LOG_DOVIZ - 0.2845158065*LOG_TEFE
 

DW-d testi 1. dereceden otokorelasyonu araştırır. Bu yüzden sadece yıllık veriler için kullanılır. Otoregresif modellerde kullanılamaz. Veri eksikse bu test uygulanamaz.

Kritik değerler DW tablosundan bakılır. Bu test için modelde sabit parametrenin bulunması gerekir. Sabit parametre yoksa Fare-Brother tablosu kullanılır. DW-d testi aslında bazı durumlarda yetersiz kalabilir.

AR(1) 1. dereceden otoregresif süreç

Ut =ρt-1 + vt

Ho : ρ=0 1.dereceden otokorelasyon yoktur.
Ha : ρ≠0 1.dereceden otokorelasyon vardır.

Orjinal DW tablosu n ≥ 15, k’ = 1-20
Savin White tablosu n ≥ 6, k’ = 1-20

Tablodan dL ve dU değerleri bulunur. DWd formülünün açılımını yaparsak;

Modelimizin regresyon çözümünde DWd (Durbin-Watson stat) değeri 1.042 bulunmuştur. Bu değer DW tablosundan elde edilen dL alt sınırı ve dU üst sınırı ile karşılaştırılır.

n : 18 (Veri adedi)
k' : 4 (Parametre adedi)
α : 0,05

Tabloda n, k’ ve α için

(Chi-square)

Yalnızca DW-d testinin kararsız olduğu durumda kullanılır. Doğrudan 1. derece otokorelasyon araştırılmasında kullanılamaz. Parametrik olmayan bir testtir. (Yani DW-d testinde olduğu gibi n ve k’ gibi parametre değerlerine ihtiyaç duymaz.)

Hata terimleri, bir önceki hata terimleri ile karşılaştırılarak işaret tablosu oluşturulur. Hata terimi + iken bir önceki hata terimi de + ise tablodaki a hücresine bir puan eklenir. Tüm liste geçildikten sonra işaret bileşimlerinin toplamı a, b, c, d hücrelerine doldurulmuş olur.

Ki-kare değeri de bu hücrelerden faydalanarak hesaplanır ve 1 serbestlik dereceli tablo değeri ile karşılaştırılır.

Bizim değerlerimiz için farkların işaretlerini alırsak;

K2 < 3,841 ise Ho kabul. 1. mertebeden OK yoktur.
 

3.1.3. Durbin – H Testi

Otoregresif (bağımlı değişkenin kendi gecikmeleri ile açıklandığı) modellerde 1m OK araştırması için kullanılır. DWd ise otoregresif modellerde kullanılamıyordu.

Kendi modelimizi otoregresif hale getirmek için sağ tarafa LOG_VADELI(-1) değişkeni eklememiz yeterlidir. Henüz gecikmenin hangi boyutta olduğunu bilmiyoruz.

D-h testi normal dağılıma uyar. Bu nedenle t tablosunda sonsuz satırına karşılık gelen değere bakılır. Bu değer 0,05 anlam düzeyine göre 1,96’dır.

-t ≤ Dh ≤ +t ise 1. dereceden OK yoktur.
Dh < -ttablo ise 1. dereceden (-) OK vardır.
Dh > +ttablo ise 1. dereceden (+) OK vardır.

Gecikmeli örnek modelimizi aşağıdaki şekilde tahmin ettik. (Katsayılar anlamsız olsa da sadece deneme amaçlı uyguluyoruz.)

> View / Representations

Bu tahminden sonra βi gecikmeli değişkenin (LOG_VADELI(-1)) katsayısı olmak üzere,

ρ = 0,402852

veya d = 2.(1- ρ) formülünden

1,178342 = 2(1-ρ)  ise  ρ = 0,410829 (Üstteki ρ değerine yakın çıkması gerekir.)

Otoregresif modellerde Durbin-H için kök içi 1-nVar(βi) < 0 olursa bu teste geçilir. Veya bu test yüksek mertebe OK için de kullanılabilir.

Bir önceki Durbin-H testinde modelin tahminini yapmıştık. Bu tahminden sonra, hata terimlerinin bağımlı değişken olduğu yeni bir yardımcı model kuracağız.

Otokorelasyon araştırması için, bir önceki Durbin-H testinde tahminini yaptığımız otoregresif modelimizden elde ettiğimiz ekk kalıntılarının (resid) bağımlı değişken olduğu olduğu yardımcı modelimizi kuracağız.

Birinci derece otokorelasyon için, ana otoregresif modelimize, tahmin edilen artığın bir gecikmeli değerleri eklenir, hata terimi bağımlı değişken olarak ayarlanır.

LOG_VADELİ = f (LOG_GSMH, LOG_TEFE, LOG_DÖVİZ, LOG_VADELİ(-1) )
resid = f (LOG_GSMH, LOG_TEFE, LOG_DÖVİZ, LOG_VADELİ(-1), resid(-1) )

AR(1)   ρ.ût-1
AR(2)   ρ1.ût-1 + ρ2.ût-2

Bu işlem için öncelikle hata terimlerimizi yeni bir değişken olarak kopyalamamız gerekiyor. E-views içinde resid hata değerlerini resid_da adlı yeni değişkenimize kopyalamak için aşağıdaki komutları kullanıyoruz. (Hata terimlerinin doğru kaydedilmesi için tahmini tekrar yapmakta fayda var.)

Otokorelasyonun tanımını tekrar hatırlayalım.

Eğer hata terimleri kendi gecikmeli değerleri ile açıklanabiliyorsa otokorelasyon var demekti. Bu durumda RESID_DA değişkeni RESID_DA(-1) değişkenine bağımlı ise, yani bunun katsayısı anlamlı ise 1. derece otokorelasyonun varlığından, dolayısıyla ρ otokorelasyon katsayısının anlamlılığından sözedebiliriz.

Prob. değerlerinin uygun oluşu bu katsayının anlamlı olduğunu gösteriyor. Eğer bilgisayar yerine el ile yapmak istiyorsak t testini uygulayabiliriz.

H0: β=0
Ha: β≠0

Gecikmeli hata teriminin varyansını bulmak için komut satırında iken aşağıdaki komutu çalıştırıyoruz.

> show @var(resid_da(-1))

Sonuç: 0.012043

t = 1,414886 / 0,012043 = 117,83

Yani bu katsayı sıfırdan anlamlı derecede farklı olup 1m otokorelasyon vardır. Bunu AR(1) süreci olarak ifade ediyoruz. Birden çok gecikme test edildiğinde ise SAR (Simple AR) süreçleri de devreye girebilir.

Yüksek mertebeler içinse bu test yine yukarıda anlatıldığına benzer şekilde uygulanır.

Bu test ardışık kalıntıların hesaplanmasına dayanır. DW ile benzer özelliklerdedir.

1m otokorelasyonun araştırılmasında kullanılır. Otoregresif modellerde kullanılmaz. Ardışık kalıntılar kullanılır, EKK kalıntıları kullanılmaz. Formülü, DWd’nin û yerine w kullanılmış halidir.

Önce ardışık kalıntılar bulunup, sonra bu ardışık kalıntılar yardımıyla Dw-d değeri hesaplanır. Dw-d değeri bulunduktan sonra Von-Neumann değeri hesaplanır.

k: parametre adedi.

ut   n adet.
wt  n-k-1 adet.

Hesaplamalardan sonra VN tablosuna bakılır. Bu tabloda alt (VN) ve üst (VN*) değerleri bulunur.

E-Views’ta uygulamak için otoregresif olmayan modelimizi tekrar tahmin edip model artıklarının (resid) yeniden oluşmasını sağlayalım.

Bu farklardan yararlanarak DWd* değerini bulmak için

VN = 1,288812 * (18-4) / (18-4-1) = 1,3880

Tablodan 0,05 anlam düzeyi için V=1,3405, V*=2,8948

VN değeri sınırlar arasında kaldığı için otoregresif olmayan ana modelimizde 1m OK yoktur.

3.1.6. Breusch – Godfrey (LM) Testi

(Lagrange Çarpanı - Lagrange Multiplier)

Özellikle yüksek mertebeden otokorelasyon araştırılmasında kullanılır. Ayrıca otoregresif modellerde ve 1.dereceden otokorelasyon araştırılmasında da kullanılabilir. Ki-kare dağılımına sahiptir ve serbestlik derecesi, incelenen otokorelasyonun derecesi ile aynıdır.

Kısıtlaması olmamasına karşın bu teste diğer modeller işe yaramadığında başvurulması daha doğrudur.

LM testinde yine orijinal denklemden kalıntılar bulunur ve otokorelasyonun derecesine bağlı olarak Durbin-Alternatif’tekine benzer bir yardımcı model tahmin edilir. Tahmin edilen bu yardımcı modelin R2 değeri hesaplanır.

R2 ise 0 ise hata teriminin ardışık değerleri arasında ilişki (otokorelasyon) yoktur.

LOG_VADELİ = f (LOG_GSMH, LOG_TEFE, LOG_DÖVİZ )
resid = f (LOG_GSMH, LOG_TEFE, LOG_DÖVİZ, resid(-1), resid(-2) )

AR(2) => ρ1.ût-1 + ρ2.ût-2

Bu test resid(-1) ve resid(-2)’nin katsayılarını birlikte test edecektir.

> View / Residual Tests / Serial Correlation LM Test

Orijinal modelin kalıntılarının bağımlı olduğu yardımcı modelde, bağımsız değişkenlerin yanısıra 1. ve 2. kalıntılar da bağımsız değişken olarak eklenip EKK ile tahmin yapılıyor. R2 = 0,333412 ve tablo değeri Ki-kare(0,05;2) = 5,991’dir.

LM = n.R2
LM = (n-p).R2 (p: otokorelasyon derecesi, AR mertebesi)

H0: ρ=0
Ha: ρ ≠0

LM < Ki-kare ise Ho kabul, 2m OK yoktur.
LM = (18-2). 0,33412 = 5,346 < 5,991

3.1.7. Wallis ve King Testleri

Wallis testi sadece AR(4), özellikle SAR(4) araştırmasında kullanılır.(4m)

King testi ise sadece AR(12), özellikle SAR(12) araştırmasında kullanılır.(12m)

Mevsimsel etkileri incelemek için bu testler faydalıdır. Ama bunlar yerine genelde LM testi tercih edilir. Pek fazla kullanılmazlar.

Kritik değerler King ve Wallis tablolarından bakılır. Yorumlanışı DWd ile aynıdır. Wallis için tablodan d4L ve d4U değerleri bulunur.

Mevsimsel kukla olduğunda King testi yapılamaz. Wallis testi ise mevsimsel kukla olduğunda Wallis tablosu yerine başka tablodan faydalanır.

E-views’ta uygulamak için her zamanki gibi önce modelimizi yeniden tahmin ediyoruz. Böylece denemeler sırasında değişen resid değerlerimizi uygun hale getirmiş oluyoruz.

Yukarıdaki w ve k formülleri için aşağıdaki sonuçları elde ettik.

k= 1.060872

n:16 için

d4L=0,435
d4U=1,381

Serimiz mevsimsel seri olmadığı için yorum yapamayız.

Otokorelasyon sistematik kısmın tanımlanması ilgili hatalardan kaynaklanmıyorsa, yalnızca verilerle ilgili hatalardan kaynaklanıyorsa çeşitli düzeltme yöntemleri kullanılabilir.

Bu yöntemlerin tümü öncelikle ρ değerinin tahmin edilmesini gerektirir.

Tahmin için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir.

- Doğrudan Tahmin Yöntemi
- İlk farklar Yöntemi
- Berenblut-Webb Yöntemi
- Cochrane-Orcutt yöntemi
- Durbin iki aşamalı yöntemi
- Hildreth-Lu yöntemi

Hildreth-Lu yöntemi yetersiz olduğu ve önerilmediği için ödevimize dahil etmeyeceğiz.

3.2.1. Genelleştirilmiş Farklar (GEKK)

(Genelleştirilmiş EKK)

ρ biliniyorsa kullanılır. İlk önce genelleştirilmiş fark denklemi oluşturulur. Genelleştirilmiş EKK, bu fark denklemine EKK uygulanmasıdır.

AR(1) => ut = f(ut-1) = ρ.ut + vt

Bir önceki verileri için fark denklemi oluşturulup ρ ile çarpılarak ana denklemden çıkarıldıktan sonra genelleştirilmiş fark denklemi oluşur.

Bizim modelimize uyarlarsak

Bu modele EKK uygulanırsa yeni ut değerleri otokorelasyonsuz hata terimleri olur. 3.1.1 Durbin Watson – d Testi bölümünde DWd değerini bulmuştuk.

DWd = 1,042
DWd ~ 2.(1-ρ) eşitliğinden ρ = 0,48 çıkar.

ρ bilinmediği durumlarda önce farklı yöntemlerle bulmak gerekir. Sonra tahmin edilen ρ değeri kullanılarak yine genelleştirilmiş fark denklemi oluşturulur ve bu denklem EKK ile tahmin edilir. Yöntemler arasındaki fark ρ’nun tahminiyle ilgilidir.

3.2.2. Doğrudan Tahmin Yöntemi (Durbin Watson ve Theil Nagar)

Büyük örnekler için DWd, küçük örnekler için Theil-Nagar yöntemi kullanılır. Bu iki yöntem ρ’nun değerini doğrudan bulmaya çalışır.

Büyük örnekler için Durbin Watson yöntemi:

Küçük örnekler için Theil Nagar yöntemi:

Bu yöntem yalnızca ρ=+1 veya ρ=–1 eşitliğini sınayabilir. Daha çok pozitif otokorelasyon yaygın olduğu için genelde ilk eşitlik araştırılır. Hata terimleri arasında tam ilişki yoksa yöntem uygun değildir.

LOG_VADELİ* = β2.LOG_GSMH* + β3.LOG_TEFE* + β4.LOG_DÖVİZ*

Normalde ilk farklar denkleminde sabit parametre bulunmaz. Fakat orjinal regresyon denkleminde trend değişkeni varsa, bu değişken fark denklemine sabit parametre olarak yansır.

ρ = –1 için:

LOG_VADELİ* = 2.β1 + β2.LOG_GSMH* + β3.LOG_TEFE* + β4.LOG_DÖVİZ*

ρ = –1 durumunda iken ardışık değerlerin toplanması ile oluşan denklemin ikiye bölünmesiyle ikişerli hareketli ortalamalar denklemi oluşur.

Fark denklemi EKK ile tahmin edilecek ve 1.dereceden tam otokorelasyonun düzeltilip düzeltilemediği incelenektir.

Özellikle Berenblut-Webb testinde Ho’ın reddedilememesi durumunda otokorelasyon bu yöntemle başarıyla düzeltilir.
 

3.2.4. Berenblut Webb Testi

Bu test 1.dereceden pozitif ve tam otokorelasyonu inceler.

Ho: ρ = +1
Ha: ρ ≠ +1

Ho kabul olursa OK düzeltmek için ilk farklar yöntemi kullanılabilir.

ρ = +1 için fark denklemi çözümü aşağıdaki gibi çıkıyor.

> ls LOG_VADELI-LOG_VADELI(-1) c LOG_GSMH-LOG_GSMH(-1) LOG_DOVIZ-LOG_DOVIZ(-1) LOG_TEFE-LOG_TEFE(-1)

Buradaki kalıntı kareleri toplamı SSR* = 0.280383
Orjinal denklemimizde ise SSR = 0.314403

DW tablosundan 0,05 anlam düzeyinde k:4 ve n:17 için

ρ < dL olsaydı OK düzeltmesi için ilk farklar yöntemi kullanılabilecekti ve büyük ihtimalle başarılı bir düzeltme gerçekleşecekti.

3.2.5. Cochrane Orcutt Testi

Bu yöntemde ρ iterasyon yoluya tahmin edilir.

ût = ρ.ût-1 + wt* => EKK

ρ parametre değeri yakınsamaya başlayıncaya kadar devam ettirilir. (Son iki tekrarın farkı 0,01 olana kadar.)

û’t = ρ.û’t-1 + w’t => EKK

ρ = 0,43 olarak bulundu.

ρ = 0,48 olarak bulundu.

LOG_VADELİ*** = LOG_VADELI**- ρ2.LOG_VADELI**(-1)

3.2.6. Durbin İki Aşamalı Testi

Bu yöntemde otokorelasyon katsayısı ρ genelleştirilmiş fark denklemlerinden elde edilir.

ρ değeri ilk kez bulunup yalnızca sağ tarafta yerine yazılır. Bizim denklemimiz için ρ=0,43 idi.

Bu model tahmin edildikten sonra Yt-1 katsayısı bize ρ değerini verecektir.

Bu modeli tahmin ettiğimize LOG_VADELİ(-1) katsayısı β₅ aradığımız ρ değeridir.

ρ = 0,394894 olarak bulunur.
 

Ekonometrik Testler ana sayfa